碰撞检测（基础）

🔴 球体碰撞 (Circle / Sphere)

这是最简单、计算成本最低的碰撞检测，常用于子弹、粒子、或者近似圆形的角色（如2 D游戏中的吃豆人、3 D游戏中的滚动球）。

1. 需要哪些数据？

要描述一个圆（2D）或球体（3D），只需要两个核心数据：

中心点 (Center)：一个二维向量 (x,y) 或三维向量 (x,y,z) ，表示圆心在世界坐标系中的位置。
半径 (Radius)：一个标量（单一数值） rr ，表示中心到边缘的距离。

2. 数学原理

判断两个圆（A和B）是否碰撞，核心逻辑极其直观：如果两个圆心的距离，小于或等于它们的半径之和，则发生碰撞。

计算距离：利用向量减法得到从 A 指向 B 的方向向量 \vec{D} = Center_B - Center_A 。
计算长度：利用勾股定理（毕达哥拉斯定理）计算该向量的模长（即两点间的直线距离）：d = \sqrt{D_x^2 + D_y^2}
判定条件：如果 d \le r_A + r_B ，则碰撞。

💡 核心优化思维（平方比较法）：在计算机中，开平方根（\sqrt{}）是非常耗时的运算**。因为等式两边都是正数，我们可以直接将两边平方，把判定条件改为： D_x^2 + D_y^2 \le (r_A + r_B)^2 这样全程只需要乘法和加法，极大地提升了性能。

3. 用到的数学知识

向量代数：向量的减法（求相对位置）。
解析几何：欧几里得距离公式（勾股定理在坐标系中的应用）。
不等式变换：利用单调递增函数的性质，将开方运算转化为平方运算。

🔴 轴对齐包围盒碰撞 (AABB vs AABB)

AABB (Axis-Aligned Bounding Box) 是指边永远平行于坐标轴（X/Y/Z轴）的矩形或长方体。它不能旋转，一旦物体旋转，AABB 就必须重新计算扩大。它是游戏引擎中最常用的粗略碰撞体（如墙壁、地板、静态道具）。

1. 需要哪些数据？

描述一个 AABB 通常有两种数据表示法（数学上等价）：

极值表示法：
- 2 d 空间记录矩形在坐标系中的最小点 (minX, minY) 和 最大点 (maxX, maxY)。
- 3 D 空间记录这个长方体在三维世界中，最靠近原点的那个角（最小点），和最远离原点的那个对角（最大点）
  - 最小点 P_{min}:(x_{min},y_{min},z_{min})
  - 最大点 P_{max}:(x_{max},y_{max},z_{max})
中心 + 半尺寸表示法（引擎更常用）：
- 2 d 空间记录中心点 (cx, cy) 和 半宽/半高 (hw, hh)。
- 记录长方体的几何中心，以及它在 X、Y、Z 三个方向上“厚度”的一半。
  - 中心点 C:(c_{x},c_{y},c_{z})
  - 半尺寸 H:(h_{x},h_{y},h_{z}) （即半宽、半高、半深）

2. 数学原理(2 D)

AABB 碰撞检测的数学本质是一维区间的重叠判定。

AABB 碰撞检测的数学本质是一维区间的重叠判定。在二维空间中，两个矩形碰撞的充要条件是：它们在 X 轴上的投影区间重叠，并且在 Y 轴上的投影区间也重叠。只要有一个轴存在缝隙，就不碰撞。

如果用“极值表示法”（区间交集原理）：
- X轴重叠：A.maxX \ge B.minX 且 A.minX \le B.maxX
- Y轴重叠：A.maxX \ge B.minX 且 A.minX \le B.maxX
- 两者同时满足即碰撞。
计算两个中心点在 X 轴上的绝对距离：|cx_A - cx_B|
计算两个矩形在 X 轴上的“安全半径之和”：hw_A + hw_B
X轴重叠条件：|cx_A - cx_B| \le hw_A + hw_B
Y轴同理。两者同时满足即碰撞。

3. 用到的数学知识(2 D)

区间数学 (Interval Arithmetic)：一维线段的重叠与交集判定。
绝对值与不等式：利用绝对值表示无方向的距离。
降维思想：将复杂的二维面积重叠问题，拆解为两个独立的一维线段重叠问题（这在数学上称为正交分解）。

3D 空间实战推演（具体例子）

要判断两个 3D 长方体是否相交，最笨的办法是算体积，但这在数学上极其复杂。
这里用到的核心数学思想是：正交分解（降维）。

原理：两个 3D 长方体发生碰撞的充要条件是：它们在 X 轴、Y 轴、Z 轴上的投影（也就是 3 条一维线段）同时发生重叠

反证法：只要它们在任意一个轴（比如 Z 轴）上的投影存在缝隙（不重叠），那么这两个长方体在 3D 空间中就绝对不可能碰到对方

这就把复杂的“3D 体积相交”问题，拆解成了 3 个极其简单的“1D 线段重叠”问题

假设我们在开发一个 3D 动作游戏。

物体 A（玩家角色）

：我们用“中心+半尺寸”来描述。
- 中心点C_{A}=(2,3,5)
- 半尺寸 H_{A}=(1,2,1)（代表半宽1，半高2，半深1）
物体 B（场景里的一个木箱）
- 中心点 C_{B}=(4,4,6)
- 半尺寸 C_{B}=(1.5,1,1.5)

判定步骤：

🔴使用中心距离法

对于每一个轴，我们计算两个中心点在该轴上的绝对距离，然后与两个半尺寸之和进行比较。如果距离 ≤ 半尺寸之和，说明该轴重叠。

1. 检查 X 轴（左右方向）

中心点在 X 轴的距离： ∣CxA−CxB∣=∣2−4∣=2
X 轴的“安全半径之和”： HxA+HxB=1+1.5=2.5
判定：因为 2≤2.5 ，所以 X 轴重叠。（玩家和箱子在左右方向上有交集）

2. 检查 Y 轴（上下方向）

中心点在 Y 轴的距离： ∣CyA−CyB∣=∣3−4∣=1
Y 轴的“安全半径之和”： HyA+HyB=2+1=3
判定：因为 1≤3 ，所以 Y 轴重叠。（玩家和箱子在上下方向上有交集）

3. 检查 Z 轴（前后方向，通常是 3D 游戏的深度）

中心点在 Z 轴的距离： ∣CzA−CzB∣=∣5−6∣=1
Z 轴的“安全半径之和”： HzA+HzB=1+1.5=2.5
判定：因为 1≤2.5 ，所以 Z 轴重叠。（玩家和箱子在前后方向上有交集）

最终结论：因为 X、Y、Z 三个轴同时重叠，所以玩家角色和木箱在 3D 空间中发生了碰撞！

圆如果用“极值表示法”怎么算？（区间交集法）

有些游戏引擎（如早期的物理系统）喜欢用最小/最大点来计算。它的数学本质是一维区间的交集判定。

假设我们已知：

物体 A 的 X 轴区间是 [1,3] （即 Cx−Hx 到 Cx+Hx ）
物体 B 的 X 轴区间是 [2.5,5.5]

X 轴重叠的数学条件：
Amax≥Bmin 并且 Amin≤Bmax
代入数据：3≥2.5 (成立) 且 1≤5.5 (成立)。所以 X 轴重叠。
Y 轴和 Z 轴同理推算。

🔴圆形与轴对齐包围盒碰撞 (Circle vs AABB)

“圆形与轴对齐包围盒碰撞”（在 2D 中是 圆 vs 矩形，在 3D 中是 球体 vs 长方体）是游戏开发中最经典、也最能体现数学优雅之美的碰撞检测之一。

它的核心数学思想非常巧妙：它不直接计算两个复杂形状的交集，而是通过“降维转化”，把“形状 vs 形状”的问题，变成了最简单的“点 vs 形状”的问题。

下面我们以 2D（圆 vs 矩形）为主线进行深度拆解，并在最后说明如何无缝扩展到 3D。

一、我们需要哪些数据？

为了计算方便，我们通常采用以下数据表示法：

圆形 (Circle)：
- **圆心 **C：坐标 (c_x, c_y)。
- **半径 **r：一个标量数值。
轴对齐包围盒 (AABB / 矩形)：
- 这里使用极值表示法最直观。
- **最小点 **P_{min}：(min_x, min_y)，即矩形左下角的坐标。
- **最大点 **P_{max}：(max_x, max_y)，即矩形右上角的坐标。

二、核心数学原理：寻找“最近点”

想象一下，如果圆和矩形发生了碰撞，或者它们靠得非常近，那么矩形上必然存在一个点，它是整个矩形中距离圆心“最近”的点。

我们把这个点称为 **最近点 **P(p_x, p_y)。

核心逻辑：
只要我们找到了这个最近点 P，问题就瞬间简化了！我们只需要计算**点 P 到圆心 C 的距离 **d。

如果 d \le r（距离小于等于半径），说明圆碰到了矩形（或者圆心已经在矩形里面了），发生碰撞。
如果 d > r，说明圆还没碰到矩形，未碰撞。

那么，数学上的终极问题来了：如何不写一大堆复杂的 **if-else**，用纯数学公式直接算出这个最近点 P 呢？

三、数学魔法：Clamp（钳制/截断）函数

这里需要引入一个极其重要的数学/计算机函数：Clamp（钳制）。
它的作用是把一个数值“限制”在某个指定的区间 [min, max] 内。

数学表达式为：
Clamp(value, min, max) = \max(min, \min(value, max))

原理解析：

先用 \min(value, max)：如果 value 超过了上限 max，就把它拉回到 max；否则保持原样。
再用 \max(min, \dots)：如果上一步的结果低于下限 min，就把它拉回到 min；否则保持原样。

计算最近点 P 的坐标：

我们将圆心的坐标，分别在 X 轴和 Y 轴上，向矩形的边界进行 Clamp 操作：

p_x = Clamp(c_x, min_x, max_x)
p_y = Clamp(c_y, min_y, max_y)

就这么简单！通过这两个公式，我们瞬间就找到了矩形上距离圆心最近的点 P。

四、深度剖析：为什么 Clamp 能找到最近点？（Voronoi 区域划分）

你可能会疑惑，矩形周围有那么多点，为什么这两个简单的公式就能准确找到最近点？
这背后隐藏着解析几何中的 Voronoi 区域划分（泰森多边形/空间划分） 思想。

Clamp 函数在数学上隐式地将矩形周围的 2D 空间划分成了 9 个区域。我们来看看圆心 C 落在不同区域时，Clamp 是如何自动处理的：

区域 1：圆心在矩形“正上方”（对应矩形的上边）
- c_x 在 min_x 和 max_x 之间，所以 p_x = c_x。
- c_y 大于 max_y，所以 p_y 被 Clamp 拉回到了 max_y。
- 结果：最近点 P 刚好是圆心正下方、矩形上边缘的垂足。完全正确！
区域 2：圆心在矩形的“左上角”外侧
- c_x < min_x，所以 p_x 被拉回到 min_x。
- c_y > max_y，所以 p_y 被拉回到 max_y。
- 结果：最近点 P 刚好是矩形的左上角顶点。完全正确！
区域 3：圆心在矩形“内部”
- c_x 和 c_y 都在区间内，Clamp 不做任何改变。
- 结果：p_x = c_x, p_y = c_y。最近点 P 就是圆心 C 本身。此时距离 d = 0，因为 0 \le r，判定为碰撞。逻辑依然完美自洽！

总结：Clamp 函数利用最值运算，自动且优雅地处理了这 9 种几何情况（4个角、4条边、1个内部），完全不需要写任何条件分支语句。

五、完整的数学判定流程

结合上面的原理，完整的数学推导步骤如下：

**步骤 1：求最近点 **P

p_x = \max(min_x, \min(c_x, max_x))
p_y = \max(min_y, \min(c_y, max_y))

**步骤 2：求距离向量 **\vec{D}

计算从最近点 P 指向圆心 C 的向量：\vec{D} = C - P
即：D_x = c_x - p_x， D_y = c_y - p_y

步骤 3：距离平方比较（核心优化）

根据勾股定理，真实距离 d = \sqrt{D_x^2 + D_y^2}。
判定条件是 d \le r。
数学优化：因为两边都是非负数，根据不等式的单调性，两边同时平方，消除耗时的开根号运算。
最终判定条件变为：D_x^2 + D_y^2 \le r^2

如果该不等式成立，则发生碰撞。

六、无缝扩展到 3D 空间（球体 vs 长方体）

在 3D 游戏中（如角色球体碰撞体撞击墙壁），原理完全一模一样，仅仅是多了一个 Z 轴（深度）的维度。

3D 所需数据：

球体：圆心 C(c_x, c_y, c_z)，半径 r。
AABB：最小点 (min_x, min_y, min_z)，最大点 (max_x, max_y, max_z)。

3D 判定步骤：

三维 Clamp 求最近点：
- p_x = Clamp(c_x, min_x, max_x)
- p_y = Clamp(c_y, min_y, max_y)
- p_z = Clamp(c_z, min_z, max_z)
求距离向量：
- D_x = c_x - p_x, \quad D_y = c_y - p_y, \quad D_z = c_z - p_z
三维距离平方比较：
- 判定条件：D_x^2 + D_y^2 + D_z^2 \le r^2

在 3D 空间中，Clamp 函数隐式地将空间划分成了 27 个区域（3x3x3），包括 1 个内部、6 个面、12 条边、8 个角。而数学公式依然只有寥寥几行，这就是数学降维打击的威力。

七、总结：用到的核心数学知识

分段函数与最值函数 (Min/Max)：构建 Clamp 函数，实现坐标的边界截断。
空间区域划分 (Voronoi Regions)：理解算法背后的几何意义，明白为什么简单的公式能覆盖所有碰撞情况（角、边、面、内部）。
向量代数 (Vector Algebra)：利用向量减法计算两点间的相对位置向量。
欧几里得距离与勾股定理 (Euclidean Distance)：计算空间两点间的直线距离。
不等式变换 (Inequality Transformation)：利用平方操作消除根号，将复杂的无理数比较转化为简单的整数/浮点数多项式比较。

🔴有向包围盒（OBB, Oriented Bounding Box）碰撞

课程1

相比于“永远横平竖直”的 AABB，有向包围盒（OBB, Oriented Bounding Box） 解除了“不能旋转”的封印。它可以随着游戏物体任意旋转、倾斜，从而更紧密地贴合物体的真实轮廓。

但也正因为 “能旋转” ，AABB 那套简单的“比较 X/Y/Z 最大最小值”的方法彻底失效了。为了检测两个任意旋转的 OBB 是否碰撞，我们需要引入碰撞检测领域最著名、也最优雅的数学定理：分离轴定理（SAT, Separating Axis Theorem）。

下面我们从 2D 到 3D，把 OBB vs OBB 的碰撞检测彻底拆解。

一、在数学上，如何描述一个 OBB？

因为 OBB 可以旋转，我们不能再用简单的“世界坐标下的最小/最大点”来描述它了。在引擎底层，一个 OBB 通常由以下三组数据定义：

**中心点 **C：几何中心的坐标 (c_x, c_y, c_z)。
**半尺寸 **H：在自身局部坐标系下的半宽、半高、半深 (h_x, h_y, h_z)。
方向轴（局部坐标轴）：描述它旋转姿态的单位向量。
- 2D 中：2 个互相垂直的单位向量 \vec{u}, \vec{v}（代表局部的 X 轴和 Y 轴）。
- 3D 中：3 个互相正交的单位向量 \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}（通常构成一个 3 \times 3 的旋转矩阵）。

二、核心数学灵魂：分离轴定理 (SAT)

分离轴定理（SAT） 的核心思想极其反直觉但非常有效：

“如果两个凸多边形（或多面体）没有相交，那么必然存在至少一条直线（或平面），能够将它们完全分隔在两侧。这条线/面就是‘分离轴’。”

反过来说（判定碰撞的逻辑）：

如果我们检查了所有“可能”成为分离轴的候选轴，发现两个物体在每一条轴上的投影都发生了重叠，那么这两个物体必然发生了碰撞。

注：AABB 其实就是 SAT 的特例。因为 AABB 永远对齐世界坐标轴，所以它的“候选轴”永远只有固定的世界 X、Y、Z 轴。而 OBB 旋转了，所以我们需要动态去寻找这些“候选轴”。

三、 2D 空间实战：旋转矩形 vs 旋转矩形

假设我们在 2D 平面上有两个任意旋转的矩形（OBB A 和 OBB B）。

步骤 1：寻找“候选分离轴”

在 2D 中，两个凸多边形如果分离，分离线必然平行于其中某个多边形的一条边。因此，候选轴就是这两个矩形各条边的“法线（垂直线）”。

矩形 A 有 4 条边，提取出 2 个独立的法线轴：\vec{A_1}, \vec{A_2}（即 A 的局部 X 轴和 Y 轴）。
矩形 B 有 4 条边，提取出 2 个独立的法线轴：\vec{B_1}, \vec{B_2}（即 B 的局部 X 轴和 Y 轴）。
结论：在 2D 中，我们只需要检查 4 条候选轴（\vec{A_1}, \vec{A_2}, \vec{B_1}, \vec{B_2}）。

步骤 2：将两个 OBB 投影到候选轴上

对于每一条候选轴（假设为单位向量 \vec{L}），我们需要把矩形 A 和矩形 B 都“拍扁”投影到这条轴上，得到两条一维线段。

数学投影计算：
一个 OBB 在某条轴 \vec{L} 上的投影，可以看作是一个中心点投影加上一个“投影半径”。

中心点投影：将 OBB 的中心点 C 点乘候选轴 \vec{L}，得到投影中心 p = C \cdot \vec{L}。
**投影半径 **r：OBB 在轴 \vec{L} 上占据的“半宽”。利用 OBB 的局部轴和半尺寸计算：
r = h_x |\vec{u} \cdot \vec{L}| + h_y |\vec{v} \cdot \vec{L}|
(这里的点乘取绝对值，是因为我们要计算的是最大延伸距离)

步骤 3：检查一维线段是否重叠

现在我们有了 A 的投影区间 [p_A - r_A, p_A + r_A] 和 B 的投影区间 [p_B - r_B, p_B + r_B]。
它们重叠的数学条件非常简单：
两个投影中心的距离 \le 两个投影半径之和
即：|p_A - p_B| \le r_A + r_B

最终判定：

依次检查这 4 条轴。

如果在任意一条轴上，|p_A - p_B| > r_A + r_B（找到了分离轴），立刻停止计算，未碰撞。
如果 4 条轴全部重叠，发生碰撞。

四、升维打击：3D 空间中的 OBB vs OBB

到了 3D 空间，情况变得复杂得多。两个 3D 长方体（OBB）如果分离，分离面可能平行于 A 的面、平行于 B 的面，还可能平行于 A 的一条边和 B 的一条边所构成的平面（边-边分离）。

因此，3D 中的“候选分离轴”数量暴增到了 15 条！

1. 寻找 15 条候选轴

假设 OBB A 的局部轴为 \vec{A_x}, \vec{A_y}, \vec{A_z}，OBB B 的局部轴为 \vec{B_x}, \vec{B_y}, \vec{B_z}。

A 的 3 个面法线：\vec{A_x}, \vec{A_y}, \vec{A_z} （3条）
B 的 3 个面法线：\vec{B_x}, \vec{B_y}, \vec{B_z} （3条）
A 的边与 B 的边的叉乘（边-边轴）：\vec{A_i} \times \vec{B_j} （3 \times 3 = 9 条）
总计：3 + 3 + 9 = 15 条候选轴。

(注：叉乘 \times 的几何意义是求出一个同时垂直于两个向量的法向量，正好代表了“边-边”构成的分离平面的法线。)

2. 投影与重叠检测（3D 版）

对于这 15 条轴中的每一条（设为 \vec{L}），计算逻辑与 2D 完全一致：

计算投影中心距离：D = |(C_B - C_A) \cdot \vec{L}|
计算 A 的投影半径：r_A = h_{Ax}|\vec{A_x}\cdot\vec{L}| + h_{Ay}|\vec{A_y}\cdot\vec{L}| + h_{Az}|\vec{A_z}\cdot\vec{L}|
计算 B 的投影半径：r_B = h_{Bx}|\vec{B_x}\cdot\vec{L}| + h_{By}|\vec{B_y}\cdot\vec{L}| + h_{Bz}|\vec{B_z}\cdot\vec{L}|
判断：如果 D > r_A + r_B，则分离，未碰撞。

如果 15 条轴全部检测完都没有分离，则发生碰撞。

五、引擎底层的极限优化：相对投影法

如果直接按上面的公式算 15 条轴，需要做大量的向量点乘和叉乘，性能开销很大。现代物理引擎（如 Box2D, PhysX）会使用相对坐标系进行极限优化。

核心思想：把 OBB B 转换到 OBB A 的局部坐标系中。

计算相对位置向量 \vec{T} = C_B - C_A。
计算 B 的局部轴在 A 的局部坐标系下的表示（通过矩阵乘法或点乘），得到一个 3 \times 3 的**旋转相对矩阵 **R。
R_{ij} = \vec{A_i} \cdot \vec{B_j}
利用矩阵 R 和相对位置 \vec{T}，可以将 15 次投影计算转化为简单的查表和代数加减法，彻底消除运行时的三角函数和复杂的向量运算。

六、总结：OBB 碰撞背后的数学知识库

OBB vs OBB 是游戏物理引擎中最基础也最硬核的算法之一，它几乎调动了线性代数的所有核心工具：

分离轴定理 (SAT)：将复杂的 3D 体积相交问题，转化为多个 1D 线段重叠问题的核心指导思想。
向量点乘 (Dot Product)：用于计算向量在某个轴上的“投影长度”（a \cdot b = |a||b|\cos\theta）。
向量叉乘 (Cross Product)：用于在 3D 空间中寻找“边-边”分离轴（求两个方向向量的公垂线）。
矩阵与基变换 (Matrix & Change of Basis)：通过构建相对旋转矩阵，将一个物体的坐标转换到另一个物体的局部空间，从而实现计算降维和性能优化。
绝对值与不等式：用于处理投影时的方向无关性，以及最终的 1D 区间重叠判定。

一句话总结：
AABB 碰撞是“比大小”，Circle vs AABB 是“找最近点”，而 OBB 碰撞则是“在 15 个特定方向上玩 1D 投影重叠游戏”。

课程2

OBB（Oriented Bounding Box，有向包围盒）碰撞，本质上是在解决：

“两个任意旋转的矩形/盒子是否相交”。

它比 AABB（轴对齐包围盒）难很多，因为：

AABB 永远和世界坐标轴平行
OBB 可以任意旋转

所以：

不能再用简单的 x/y/z 区间重叠判断

而 OBB 的核心数学原理，其实只有一个：

分离轴定理（SAT）

一、SAT 的真正思想

SAT（Separating Axis Theorem）说：

如果两个凸物体没有碰撞，那么一定存在一条轴，使它们在这条轴上的投影不重叠。

反过来：

如果所有可能轴上的投影都重叠，那么它们一定碰撞。

这是 OBB 的整个数学基础。

注意关键词：

“投影”

因为：

碰撞问题被转化成了“一维区间重叠问题”

这就是 SAT 最厉害的地方。

二、为什么“投影”能判断碰撞？

先想二维。

假设两个旋转矩形：

A
B

很难直接判断。

但如果你拿一条轴，例如：

→

然后把两个矩形都“压扁”到这条线上。

你会得到：

线段区间

例如：

A: [2,5]
B: [6,8]

如果区间不重叠：

说明一定没碰撞

因为：

存在“空隙”

这条轴就叫：

分离轴

三、为什么只检查特定轴？

这是 SAT 最关键的数学结论。

二维 OBB 只需要检查：

A 的两个边法线
B 的两个边法线

总共：

4 条轴

因为：

如果两个凸多边形存在分离轴，那么它一定垂直于某条边。

这是凸几何的重要定理。

四、OBB 的数据结构

二维 OBB 一般包含：

center
halfExtents
rotation

也可以写成：

center
axisX
axisY
halfWidth
halfHeight

其中：

center：中心点
axisX：盒子右方向
axisY：盒子上方向

注意：

axisX / axisY 必须是单位向量

因为它们本质是：

局部坐标轴

五、投影真正怎么计算？

现在来到核心。

假设有一条检测轴：

单位向量。

我们要计算：

OBB 在 L 上的投影范围

六、为什么点积能做投影？

因为点积：

a\cdot b=|a||b|\cos\theta

本质就是：

一个向量在另一个方向上的投影长度。

所以：

点积 = 投影

七、OBB 投影半径公式

这是 SAT 最核心公式之一。

二维 OBB 在轴 L 上的投影半径：

r=e_x|L\cdot A_x|+e_y|L\cdot A_y|

这里：

e_x：半宽
e_y：半高
A_x：OBB 的 x 轴
A_y：OBB 的 y 轴

八、这个公式为什么成立？

这是真正数学本质。

OBB 可以看成：

两个轴方向的组合

即：

横向贡献 + 纵向贡献

现在：

我们想知道：

这个盒子在 L 上能延伸多远

于是：

横轴在 L 上的投影长度
纵轴在 L 上的投影长度

加起来。

横向贡献：

e_x|L\cdot A_x|

纵向贡献：

e_y|L\cdot A_y|

相加后：

r=e_x|L\cdot A_x|+e_y|L\cdot A_y|

这就是投影半径。

九、真正碰撞判断

现在：

两个 OBB：

A
B

中心差：

T=C_B-C_A

投影到轴 L：

d=|T\cdot L|

得到：

两个中心在轴上的距离

然后：

如果：

d>r_A+r_B

说明：

出现分离

即：

没有碰撞

否则继续检查下一条轴。

十、二维 OBB 为什么只检查 4 条轴？

因为矩形边只有两种方向：

x轴方向
y轴方向

法线也只有两种。

两个矩形：

2 + 2 = 4

十一、三维 OBB 更复杂

3D OBB vs OBB 需要检查：

A 的 3 个轴
B 的 3 个轴
两两叉积生成的 9 个轴

总共：

15 条轴

即：

3 + 3 + 9

十二、为什么还要检查叉积轴？

因为在三维里：

边与边之间可能形成新的分离方向

二维不存在这个问题。

十三、OBB 为什么比 AABB 贵？

AABB：

只比较 min/max

OBB：

大量 dot

因为 SAT 本质上是：

不停做向量投影

十四、为什么游戏引擎很少直接大量用 OBB？

因为：

太贵

通常：

Broad Phase：AABB
Narrow Phase：OBB / SAT / GJK

先粗筛。

十五、你现在真正应该理解的核心

OBB vs OBB 本质不是：

“盒子碰撞”

而是：

“凸体在不同轴上的投影是否分离”

整个算法核心只有三件事：

1. 选轴

SAT。

2. 点积投影

因为：

dot = 投影长度

3. 区间重叠

如果：

所有轴都重叠

则碰撞。

这就是 OBB 的真正数学原理。

碰撞检测

碰撞检测（基础）

🔴 球体碰撞 (Circle / Sphere)

1. 需要哪些数据？

2. 数学原理

3. 用到的数学知识

🔴 轴对齐包围盒碰撞 (AABB vs AABB)

1. 需要哪些数据？

2. 数学原理(2 D)

3. 用到的数学知识(2 D)

3D 空间实战推演（具体例子）

判定步骤：

🔴使用中心距离法

圆如果用“极值表示法”怎么算？（区间交集法）

🔴圆形与轴对齐包围盒碰撞 (Circle vs AABB)

一、 我们需要哪些数据？

二、 核心数学原理：寻找“最近点”

三、 数学魔法：Clamp（钳制/截断）函数

计算最近点 ​P 的坐标：

四、 深度剖析：为什么 Clamp 能找到最近点？（Voronoi 区域划分）

五、 完整的数学判定流程

六、 无缝扩展到 3D 空间（球体 vs 长方体）

七、 总结：用到的核心数学知识

🔴有向包围盒（OBB, Oriented Bounding Box）碰撞

课程1

一、 在数学上，如何描述一个 OBB？

二、 核心数学灵魂：分离轴定理 (SAT)

三、 2D 空间实战：旋转矩形 vs 旋转矩形

步骤 1：寻找“候选分离轴”

步骤 2：将两个 OBB 投影到候选轴上

步骤 3：检查一维线段是否重叠

最终判定：

四、 升维打击：3D 空间中的 OBB vs OBB

1. 寻找 15 条候选轴

2. 投影与重叠检测（3D 版）

五、 引擎底层的极限优化：相对投影法

六、 总结：OBB 碰撞背后的数学知识库

课程2

分离轴定理（SAT）

一、SAT 的真正思想

二、为什么“投影”能判断碰撞？

三、为什么只检查特定轴？

四、OBB 的数据结构

五、投影真正怎么计算？

六、为什么点积能做投影？

七、OBB 投影半径公式

八、这个公式为什么成立？

九、真正碰撞判断

十、二维 OBB 为什么只检查 4 条轴？

十一、三维 OBB 更复杂

十二、为什么还要检查叉积轴？

十三、OBB 为什么比 AABB 贵？

十四、为什么游戏引擎很少直接大量用 OBB？

十五、你现在真正应该理解的核心

1. 选轴

2. 点积投影

3. 区间重叠

🔴 GJK

评论区

一、我们需要哪些数据？

二、核心数学原理：寻找“最近点”

三、数学魔法：Clamp（钳制/截断）函数

计算最近点 P 的坐标：

四、深度剖析：为什么 Clamp 能找到最近点？（Voronoi 区域划分）

五、完整的数学判定流程

六、无缝扩展到 3D 空间（球体 vs 长方体）

七、总结：用到的核心数学知识

一、在数学上，如何描述一个 OBB？

二、核心数学灵魂：分离轴定理 (SAT)

四、升维打击：3D 空间中的 OBB vs OBB

五、引擎底层的极限优化：相对投影法

六、总结：OBB 碰撞背后的数学知识库